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虚数有什么用

发布(bu)时间: 2018-12-10
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众所周知,虚(xu)数自身的平方是(shi)负数,它(ta)在现实中并不(bu)存(cun)在。虚(xu)构一个现实中不(bu)存(cun)在的概念,有什(shen)么用呢?

在(zai)(zai)初中学(xue)(xue)到(dao)(dao)“平(ping)(ping)方(fang)(fang)根”这(zhei)个(ge)(ge)概念时(shi),我们说只有正数(shu)(shu)(shu)和零才有平(ping)(ping)方(fang)(fang)根——没有哪个(ge)(ge)数(shu)(shu)(shu)字自己(ji)乘以自己(ji)会(hui)等(deng)于负(fu)(fu)(fu)数(shu)(shu)(shu)。在(zai)(zai)解(jie)二次(ci)(ci)方(fang)(fang)程(cheng)时(shi),我们可能会(hui)遇到(dao)(dao)根号(hao)里面(mian)有一个(ge)(ge)负(fu)(fu)(fu)数(shu)(shu)(shu)的(de)情(qing)况(kuang),此时(shi)认定它(ta)无实(shi)数(shu)(shu)(shu)解(jie)即可,所以并不(bu)需(xu)要(yao)(yao)对(dui)负(fu)(fu)(fu)数(shu)(shu)(shu)开(kai)平(ping)(ping)方(fang)(fang)。但是(shi)(shi)当学(xue)(xue)到(dao)(dao)三(san)次(ci)(ci)方(fang)(fang)程(cheng)时(shi),这(zhei)个(ge)(ge)问题就(jiu)回避(bi)不(bu)了了,因为(wei)根据三(san)次(ci)(ci)方(fang)(fang)程(cheng)的(de)求根公式,即使一个(ge)(ge)有实(shi)数(shu)(shu)(shu)解(jie)的(de)三(san)次(ci)(ci)方(fang)(fang)程(cheng),在(zai)(zai)求解(jie)的(de)过(guo)程(cheng)中,也会(hui)遇到(dao)(dao)要(yao)(yao)对(dui)负(fu)(fu)(fu)数(shu)(shu)(shu)开(kai)根号(hao)的(de)情(qing)况(kuang)。于是(shi)(shi)给负(fu)(fu)(fu)数(shu)(shu)(shu)开(kai)根号(hao)就(jiu)绕不(bu)过(guo)去(qu)了。数(shu)(shu)(shu)学(xue)(xue)家们只好(hao)虚构(gou)出一个(ge)(ge)数(shu)(shu)(shu),让它(ta)的(de)平(ping)(ping)方(fang)(fang)等(deng)于-1,这(zhei)个(ge)(ge)数(shu)(shu)(shu)写成字母(mu)i,是(shi)(shi)拉丁语中imagini“影(ying)(ying)像”一词的(de)首字母(mu),它(ta)代(dai)表非真实(shi)、幻影(ying)(ying)的(de)意(yi)思。这(zhei)就(jiu)是(shi)(shi)虚数(shu)(shu)(shu)。有了虚数(shu)(shu)(shu),三(san)次(ci)(ci)方(fang)(fang)程(cheng)就(jiu)能顺(shun)利求解(jie)了。如果三(san)次(ci)(ci)方(fang)(fang)程(cheng)有实(shi)根,那么算出的(de)就(jiu)是(shi)(shi)实(shi)数(shu)(shu)(shu)——虚数(shu)(shu)(shu)去(qu)哪了,它(ta)们正负(fu)(fu)(fu)抵消了。

这(zhei)件事细(xi)想是(shi)很有意思的(de)。现(xian)实(shi)世(shi)界(jie)(jie)里(li)给一(yi)些限制(zhi)条件后(hou)计算(suan)一(yi)个长方(fang)体(ti)的(de)体(ti)积,就是(shi)一(yi)个一(yi)元三次方(fang)程,这(zhei)就是(shi)解三次方(fang)程的(de)问题(ti),用(yong)卡(ka)尔达诺公式(shi),可以(yi)计算(suan)出问题(ti)的(de)答(da)案。但(dan)是(shi)算(suan)到(dao)一(yi)半遇(yu)到(dao)一(yi)堵墙越不过去(qu)了,于是(shi)引入(ru)一(yi)个不存在(zai)的(de)工具(ju),用(yong)一(yi)下就翻过墙了。明明是(shi)现(xian)实(shi)世(shi)界(jie)(jie)的(de)问题(ti),而(er)且在(zai)现(xian)实(shi)世(shi)界(jie)(jie)里(li)也(ye)有答(da)案,但(dan)是(shi)却无法(fa)直接(jie)得(de)到(dao),非要发明一(yi)个不存在(zai)的(de)东(dong)西作(zuo)为(wei)桥梁。

怎(zen)么(me)理解虚数(shu)的(de)(de)上述作用呢(ni)?虚数(shu)就像化(hua)学中的(de)(de)催(cui)化(hua)剂。催(cui)化(hua)剂在(zai)化(hua)学反(fan)应完(wan)成前后是不改变的(de)(de),它(ta)(ta)只是起到一个媒(mei)介的(de)(de)作用,但(dan)是没(mei)有它(ta)(ta),化(hua)学反(fan)应要(yao)么(me)特(te)别慢(man),要(yao)么(me)干脆进行(xing)不下去。虚数(shu)更像是传话筒(tong),当(dang)两个人距离很(hen)远时(shi),它(ta)(ta)可以快速传话,使得(de)交流能(neng)够继续。从更广义的(de)(de)角度讲(jiang),很(hen)多(duo)(duo)数(shu)学工具(ju)都是如(ru)此(ci),它(ta)(ta)们并非我们这个世(shi)界(jie)存(cun)在(zai)的(de)(de)东西,而是完(wan)全由逻辑(ji)虚构(gou)出来的(de)(de),但(dan)是,用这些虚构(gou)的(de)(de)工具(ju)却(que)能(neng)解决现(xian)实世(shi)界(jie)的(de)(de)事(shi)情。多(duo)(duo)神奇!

那(nei)么(me)虚数(shu)除了(le)解(jie)三次(ci)方程还有什么(me)用?它的用途可以归(gui)结为三个层面(mian)。

第一是对(dui)于数学(xue)本身(shen)的(de)(de)(de)(de)影响(xiang)。引入虚数的(de)(de)(de)(de)概(gai)(gai)(gai)念后(hou),数学(xue)的(de)(de)(de)(de)一些逻(luo)辑上可能(neng)的(de)(de)(de)(de)漏(lou)洞(dong)就被补上了。比如说,在实数的(de)(de)(de)(de)范围(wei)内,有(you)(you)(you)的(de)(de)(de)(de)多项式(shi)方程有(you)(you)(you)解(jie),有(you)(you)(you)的(de)(de)(de)(de)无解(jie),数学(xue)就不完美了。引入一个虚拟(ni)的(de)(de)(de)(de)概(gai)(gai)(gai)念——虚数i,就让(rang)所有(you)(you)(you)的(de)(de)(de)(de)方程都变(bian)得有(you)(you)(you)解(jie)了。更漂亮的(de)(de)(de)(de)是,引入虚数的(de)(de)(de)(de)概(gai)(gai)(gai)念后(hou),所有(you)(you)(you)的(de)(de)(de)(de)一元N次方程都会有(you)(you)(you)N个解(jie),没有(you)(you)(you)例外。

第(di)二是作(zuo)为工具的(de)(de)作(zuo)用(yong)。有了虚(xu)数之后,很多复杂(za)的(de)(de)数学(xue)问题可(ke)以用(yong)简单的(de)(de)方法解决,这就如(ru)(ru)同前(qian)面介绍的(de)(de)三次(ci)方程的(de)(de)解法问题。虚(xu)数作(zuo)为数学(xue)工具最(zui)大的(de)(de)用(yong)途(tu),是便于将直角坐标变成(cheng)极坐标。在飞行、航(hang)海等场景里,极坐标更方便使用(yong)。在极坐标的(de)(de)计算(suan)中,如(ru)(ru)果只用(yong)实数非常复杂(za),如(ru)(ru)果引入虚(xu)数就极为简单。

第三是应用层面(mian)。量(liang)子力(li)学、相对论、信号处理、流体力(li)学和控制系统(tong)的发展都离不开虚数。

通过虚数(shu)这个(ge)例子,我们(men)可以看(kan)到,人(ren)类可能是(shi)唯(wei)一(yi)(yi)一(yi)(yi)个(ge)能够(gou)构(gou)想出不(bu)(bu)存(cun)(cun)在(zai)(zai)的(de)事物的(de)物种(zhong),这个(ge)能力(li)(li)非常重要。在(zai)(zai)我们(men)生活(huo)的(de)世界里,存(cun)(cun)在(zai)(zai)着大量(liang)构(gou)想出来的(de)东西。比如(ru)(ru)组织(zhi)、有(you)限公司、法人(ren)团体等概(gai)念(nian),它们(men)在(zai)(zai)自然(ran)界中并不(bu)(bu)存(cun)(cun)在(zai)(zai),只是(shi)人(ren)们(men)脑子里构(gou)建出的(de)概(gai)念(nian),但是(shi)如(ru)(ru)果没有(you)它们(men),这个(ge)社会就运行不(bu)(bu)下去。今天,衡量(liang)一(yi)(yi)个(ge)人(ren)认知水(shui)平的(de)一(yi)(yi)个(ge)标准(zhun),就是(shi)看(kan)他(ta)接受虚拟概(gai)念(nian)的(de)能力(li)(li)有(you)多强,如(ru)(ru)果他(ta)只停留在(zai)(zai)看(kan)得(de)见摸得(de)着的(de)东西,这个(ge)人(ren)的(de)水(shui)平就不(bu)(bu)是(shi)很高。


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